Question

【題目】如圖，設是橢圓的左焦點，點是軸上的一點，點為橢圓的左、右頂點，已知，且

(1)求橢圓的標準方程；

(2)過點作直線交橢圓于兩點，試判定直線的斜率之和是否為定值，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）由2a＝8，﹣a＝2（a﹣c），即可求得c的值，則b2＝a2﹣c2，即可求得橢圓方程；（2）當直線斜率不存在時，kAF＝kBF＝0，當直線l的斜率不為0，將直線方程代入橢圓方程由韋達定理及直線的斜率公式即可求得kAF+kBF＝0為定值，

(1)因為，所以

又因為所以，即

所以，所以

所以橢圓的標準方程為

(2)當直線的斜率為0時，顯然；

當直線的斜率不為0時，可設AB方程為代入橢圓方程整理得：

，得或

設

則

而

綜上可知