Question

【題目】已知點，拋物線上存在一點M，使得直線AM的斜率的最大值為1，圓Q的方程為.

（1）求點M的坐標和C的方程；

（2）若直線l交C于D，E兩點且直線MD，ME都與圓Q相切，證明直線l與圓Q相離.

Answer 1

【答案】（1），C的方程為（2）證明見解析；

【解析】

（1）（法一）設，代入拋物線方程，求出直線AM的斜率表達式，利用基本不等式求出取得最大值1．解得，求出拋物線方程． (法二)：設，則點在x軸上方，直線AM的方程為y=x+1，聯立直線AM和拋物線C的方程并整理得，利用判別式解得p，然后求解拋物線方程．

（2）（法一）求出圓Q的圓心為，半徑為，設過點M的直線MA或MB的方程為利用點到直線的距離解得．得到直線MD的方程，將直線MD方程與拋物線方程聯立，設，求出D，E坐標，推出l的方程，判斷直線l與圓Q相離．

（法二）求出圓心Q，半徑為．設l的方程為．代入拋物線方程，轉化求解直線的斜率，直線的方程式，通過與圓Q相切，轉化求解D、E坐標，得到直線l得方程判斷圓心Q到直線l的距離，得到結果．

解：(1)(法一)設，則，

由已知可得，直線AM的斜率為

當且僅當時，取得最大值1.

∴，解得，

∴，C的方程為.

法二：設，則點M在x軸上方

由已知，當直線AM的斜率為1時，直線AM與拋物線C相切

此時直線AM的方程為，

聯立直線AM和拋物線C的方程并整理得

，∴，

解得：，且

∴，C的方程為.

(2)(法一)圓Q的方程可化為

圓Q的圓心為，半徑為，

設過點M的直線MA或MB的方程為

化為，則，解得.

不妨設直線MD的方程為，

將直線MD與拋物線方程聯立

消去x得.

設，則

∴，

同理設，.

∴，

∴直線l的斜率

∴直線l的方程為，即

∴l的方程，

此時圓心Q到直線l的距離

∴直線l與圓Q相離

(法二)圓Q的方程可化為.

圓心，半徑為.

由題知，直線l的斜率必存在，

設l的方程為.

聯立，消去x得

由，得，①

設

則，，②

直線MD的斜率為

直線MD的方程式為，

即

∵MD與圓Q相切，∴

∴，∴

由題知：，

或，

代入②得，

∴，滿足①式，

∴直線l得方程為，即.

此時圓心Q到直線l的距離.

∴直線l與圓Q相離.