Question

【題目】若數列滿足，且存在常數，使得對任意的都有，則稱數列為“k控數列”．

（1）若公差為d的等差數列是“2控數列”，求d的取值范圍；

（2）已知公比為的等比數列的前n項和為，數列與都是“k控數列”，求q的取值范圍（用k表示）．

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】

（1）根據“控數列”的定義得出，則由等差數列的通項公式可得對恒成立，求出公差的取值范圍；

（2）由等比數列為“控數列”得，又是“控數列”得，分類討論求出q的取值范圍.

（1）因為公差為的等差數列是“2控數列”，所以，所以，

即，

所以

由得所以，又，所以，

由得：

當時，，所以；

當時，成立；

當時，，又，所以；

綜上，，

所以的取值范圍是；

（2）因為數列是公比為的等比數列且為“控數列”，所以，顯然，故．

易知，要使是“控數列”，

則，

（ⅰ）當時，，

令，則遞減，

所以，

所以，即．

要使存在，則得；

（ⅱ）當時，，

令，則遞減，，

所以，又，所以，

要使存在，需，得

綜上，當時，公比的取值范圍是．