Question

如圖,在直棱柱ABCA₁B₁C₁中,∠BAC=90°,AB=AC=,AA₁=3,D是BC的中點,點E在棱BB₁上運動.

(1)證明:AD⊥C₁E;
(2)當異面直線AC,C₁E所成的角為60°時,求三棱錐C₁A₁B₁E的體積.

Answer 1

(1)見解析   (2)

(1)證明:因為AB=AC,D是BC的中點,
所以AD⊥BC.                                   ①
又在直三棱柱ABCA₁B₁C₁中,BB₁⊥平面ABC,
而AD?平面ABC,所以AD⊥BB₁.                    ②
由①②,得AD⊥平面BB₁C₁C.
由點E在棱BB₁上運動,得C₁E?平面BB₁C₁C,
所以AD⊥C₁E.
(2)解:因為AC∥A₁C₁,
所以∠A₁C₁E是異面直線AC,C₁E所成的角.
由題意知∠A₁C₁E=60°.
因為∠B₁A₁C₁=∠BAC=90°,
所以A₁C₁⊥A₁B₁.
又AA₁⊥A₁C₁,
從而A₁C₁⊥平面A₁ABB₁.
于是A₁C₁⊥A₁E.
故C₁E==2.
又B₁C₁==2,
所以B₁E==2.
從而=·A₁C₁=××2××=.