Question

如圖(1)所示，⊙O的直徑AB＝4，點C，D為⊙O上兩點，且∠CAB＝45°，∠DAB＝60°，F為的中點．沿直徑AB折起，使兩個半圓所在平面互相垂直(如圖(2)所示)．
 
(1)求證：OF∥平面ACD；
(2)在上是否存在點G，使得FG∥平面ACD？若存在，試指出點G的位置，并求點G到平面ACD的距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）見解析（2）存在，h＝

(1)證明：如圖所示，聯結CO，

∵∠CAB＝45°，∴CO⊥AB，
又∵F為的中點，∴∠FOB＝45°，
∴OF∥AC.
∵OF平面ACD，AC平面ACD，
∴OF∥平面ACD.
(2)設在上存在點G，使得FG∥平面ACD，聯結OG，如圖．
∵OF∥平面ACD，OF∩FG＝F，∴平面OFG∥平面ACD，
∴OG∥AD，∠BOG＝∠BAD＝60°.
因此，在上存在點G，使得FG∥平面ACD，且點G為的中點．
聯結AG，過C作CE⊥AD于E，聯結OE，設點G到平面ACD的距離為h.
∵S_△ACD＝·AD·CE＝×2×＝，S_△GAD＝S_△OAD＝×2×＝，
∴由V_{三棱錐G－ACD}＝V_{三棱錐C－AGD}，得××h＝××2，則h＝.