Question

【題目】如圖，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的單位圓與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，P在單位圓上，且B（﹣ ， ），∠AOB=α．

（1）求 的值；
（2）若四邊形OAQP是平行四邊形，
（i）當(dāng)P在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)O的軌跡方程；
（ii）設(shè)∠POA=θ（0≤θ≤2π），點(diǎn)Q（m，n），且f（θ）=m+ n．求關(guān)于θ的函數(shù)f（θ）的解析式，并求其單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：由三角函數(shù)定義得tanα=﹣2，所以原式=
（2）解：∵四邊形OAQP是平行四邊形，∴PA與OQ互相平分，

（i）設(shè)PA中點(diǎn)為H，P（x1，y1），Q（x，y），則 ， ，

又 ，所以 ，代入上式得點(diǎn)Q的軌跡方程為（x﹣1）2+y2=1．

（ii）依題意得 ，

又由（i）知 ，∴ ，

∴

∵ ，

∴ 或 ，

∴f（θ）的增區(qū)間為 和

【解析】（1）由三角函數(shù)定義得tanα=﹣2，再弦化切代入計(jì)算，即可求求 的值；（2）（i）設(shè)PA中點(diǎn)為H，P（x1 ， y1），Q（x，y），則 ， ，由此可求點(diǎn)O的軌跡方程；（ii）確定 ，即可求其單調(diào)增區(qū)間．