Question

【題目】如圖，四面體ABCD中，，，二面角的大小為，，．

（1）若，M是BC的中點(diǎn)，N在線段DC上，，求證：平面AMN；

（2）當(dāng)BP與平面ACD所成角最大時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，利用中位線的性質(zhì)以及面面平行的判定定理證得平面平面，由此證得平面.（2）作出直線與平面所成的角，根據(jù)所成角的最大值，求得的值.

（1）取DN的中點(diǎn)E，連接PE、BE．

，，PE、BE是平面AMN外兩條相交直線，

所以平面平面AMN，

所以平面AMN.

（2）作與G，在平面DAC內(nèi)作交AD于H，二面角的平面角為,因?yàn)?/span>，所以H為AD的中點(diǎn)，得是正三角形．

易得平面平面DAC，作，則為GH的中點(diǎn)，,

連接PI，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，有平面.則是BP與平面ACD所成角．在中，，為定值，故當(dāng)時(shí)，即最短時(shí)，取得最大值，取得最大，在中,,，故，,故．