Question

【題目】近年來我國電子商務行業迎來發展的新機遇．2016年618期間，某購物平臺的銷售業績高達516億人民幣．與此同時，相關管理部門推出了針對電商的商品和服務的評價體系．現從評價系統中選出200次成功交易，并對其評價進行統計，對商品的好評率為0.6，對服務的好評率為0.75，其中對商品和服務都做出好評的交易為80次．
（Ⅰ）先完成關于商品和服務評價的2×2列聯表，再判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為商品好評與服務好評有關？
（Ⅱ）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的3次購物中，設對商品和服務全好評的次數為隨機變量X：
①求對商品和服務全好評的次數X的分布列；
②求X的數學期望和方差．
附臨界值表：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.897	10.828

K2的觀測值：k= （其中n=a+b+c+d）
關于商品和服務評價的2×2列聯表：

	對服務好評	對服務不滿意	合計
對商品好評	a=80
對商品不滿意		d=10
合計			n=200

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可得關于商品和服務評價的2×2列聯表如下：

	對服務好評	對服務不滿意	合計
對商品好評	80	40	120
對商品不滿意	70	10	80
合計	150	50	200

K2= ≈11.111＞10.828

故能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為商品好評與服務好評有關．

（Ⅱ）①每次購物時，對商品和服務都好評的概率為0.4，且X的取值可以是0，1，2，3．

其中P（X=0）=0.63= ； P（X=1）=C310.40.62= ；

P（X=2）=C320.420.6= ； P（X=3）=C330.43= ．

X的分布列為：

X	0	1	2	3
P

②由于X～B（3，0.4），則E（X）=3×0.4=1.2，D（X）=3×0.4×0.6=0.72

【解析】（Ⅰ）由已知列出關于商品和服務評價的2×2列聯表，代入公式求得k2的值，對應數表得答案；（Ⅱ）①每次購物時，對商品和服務全好評的概率為0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，X～B（3，0.4）．求出相應的概率，可得對商品和服務全好評的次數X的分布列（概率用組合數算式表示）；②利用二項分布的數學期望和方差求X的數學期望和方差．