Question

【題目】已知函數（且為常數）．

（1）當時，討論函數在的單調性；

（2）設可求導數，且它的導函數仍可求導數，則再次求導所得函數稱為原函數的二階函數，記為，利用二階導函數可以判斷一個函數的凹凸性．一個二階可導的函數在區間上是凸函數的充要條件是這個函數在的二階導函數非負．

若在不是凸函數，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：

(1)將 代入函數 的解析式，利用導函數與原函數的關系討論函數的單調性即可；

(2)利用題中所給的新知識結合題意考查函數的二次導函數，將問題轉化為恒成立問題，據此求解實數 的取值范圍即可.

試題解析：

(I) 令 得

設 則

當時， ， 在上是單調增函數，

故而， 是在內的唯一零點，即是在內的唯一零點．

所以當時， ，即在上是單調減函數;

當時， ，即在上是單調增函數．

(II)

如果在是凸函數，那么 都有

令 即得

當時， 當時，

即在單調遞增，在單調遞減， 所以

即 又在不是凸函數，所以