Question

（本小題滿分14分）設函數（），．
(Ⅰ)令，討論的單調性；
（Ⅱ）關于的不等式的解集中的整數恰有3個，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）對于函數與定義域上的任意實數，若存在常數，使得和都成立，則稱直線為函數與的“分界線”．設，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）函數在上是單調遞減；在上是單調遞增.
（2）（3）．

試題分析：(I)直接求導，利用得到F(x)的單調增（減）區間；
（II）不等式的解集中的整數恰有3個，等價于恰有三個整數解，故，令,因為h(x)的一個零點區間為(0,1),
所以得到另一個零點一定在區間,故,問題到此得解.
(III)由（I）知可知F(x)的最小值為0,則f(x)與g(x)的圖像在處有公共點.
如果f(x)與g(x)存在分界線，因為方程即，所以由題意可轉化為在恒成立問題解決.
（Ⅰ）由得：
················· 1分
①當時，，則函數在上是單調遞增；····· 3分
②當時，則當時，， 當時，
故函數在上是單調遞減；在上是單調遞增. ···· 5分
（Ⅱ）解法一:不等式的解集中的整數恰有3個，
等價于恰有三個整數解，故，
令，由且，
所以函數的一個零點在區間，
則另一個零點一定在區間，故  解之得．··· 9分

下面證明恒成立．
設，則．
所以當時，；當時，．
因此時取得最大值，則成立．
故所求“分界線”方程為：．　　　　　　…………14分
點評：本題綜合性難度大，第（II）問的關鍵是構造之后，判定一個零點在區間(0,1),另一個零點,從而問題得解.
第（III）問關鍵是理解f(x)與g(x)存在分界線，因為方程即，題目可轉化為在恒成立問題解決.