Question

【題目】已知橢圓經過點M（﹣2，﹣1），離心率為．過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點P、Q．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

（Ⅱ）試判斷直線PQ的斜率是否為定值，證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】(1)由題設，得＝1，①且＝，②

由①、②解得a2＝6，b2＝3，故橢圓C的方程為＝1.

(2)設直線MP的斜率為k，則直線MQ的斜率為－k，

假設∠PMQ為直角，則k·(－k)＝－1，即k＝±1.

若k＝1，則直線MQ的方程為y＋1＝－(x＋2)，與橢圓C方程聯立，得x2＋4x＋4＝0，

該方程有兩個相等的實數根－2，不合題意；

同理，若k＝－1也不合題意．故∠PMQ不可能為直角．記P(x1，y1)、Q(x2，y2)．

設直線MP的方程為y＋1＝k(x＋2)，與橢圓C的方程聯立，得(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，

則－2，x1是該方程的兩根，則－2x1＝，即x1＝.

設直線MQ的方程為y＋1＝－k(x＋2)，同理得x2＝.

因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，

故kPQ＝＝1，

因此直線PQ的斜率為定值．