Question

【題目】已知點（1，e），（e，）在橢圓上C：1（a＞b＞0），其中e為橢圓的離心率.

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線l經過C的上頂點且l與拋物線M：y2＝4x交于P，Q兩點，F為橢圓的左焦點，直線FP，FQ與M分別交于點D（異于點P），E（異于點Q），證明：直線DE的斜率為定值.

Answer 1

【答案】（1）y2＝1；（2）證明見解析

【解析】

（1）由橢圓過兩個點及e與a，b，c之間的關系求出a，b的值，進而求出橢圓的方程；

（2）由題意可得直線l的斜率存在且不為0，設直線PF的方程與拋物線聯立求出兩根之和及兩根之積，可得點D的坐標，同理可得E的坐標，求出直線DE的斜率可得為定值.

解：（1）由題意可得解得：a2＝2，b2＝1，

所以橢圓的方程為：y2＝1；

（2）證明：由題意可得直線l的斜率存在且不為0，設直線l的方程為：y＝kx+1，設P（x1，y1），Q（x2，y2），

聯立直線l與拋物線的方程，整理可得：y2﹣y+1＝0，△＝1﹣k＞0即k＜1，且k≠0，

y1+y2，y1y2，

由（1）可得左焦點F（﹣1，0），所以直線FP的方程為：y（x+1），

聯立直線PF與拋物線的方程：整理可得：y2y+4＝0，所以y1yD＝4，所以yD，

所以D的坐標（，），

同理可得：E的坐標（，），

所以kDE1，

所以可證得直線DE的斜率為定值1.