Question

【題目】已知實數，函數.

（Ⅰ）證明：對任意，恒成立；

（Ⅱ）如果對任意均有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求導得到函數，故只需證，設，求導得到，得到證明.

（Ⅱ）對任意有意義，，令可得， 所以，再證明對任意，任意，不等式恒成立，考慮關于的函數，根據其單調性得到，計算函數單調性得到證明.

（Ⅰ）易知的定義域為，

若，則，

，

則在單調增，在單調減，

所以.

要證恒成立，只需證.

令，.

，函數在上單調遞增，在上單調遞減，

故，由于，

∴，即恒成立.

（Ⅱ），即.（*）

1°（*）對任意有意義，

當時，，∴；

2°若（*）對任意恒成立，則.

特別地，在（*）中令可得，

故.

注意到在單調增，

且，所以當且僅當.

3°下面證明：對任意，任意，不等式（*）恒成立.

首先，將正實數給定，考慮關于的函數，

注意到在單調增，

故.

下面只需說明：對于恒成立即可.

顯然，故只需說明在單調增，在單調減.

當時，，

故；

當時，，

故.因此在單調增，在單調減.

綜上可知，實數的取值范圍是.