Question

【題目】（本題滿分16分）已知函數， ．

（1）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；

（2）若直線是函數圖象的切線，求的最小值；

（3）當時，若與的圖象有兩個交點，求證： ．（取為，取為，取為）

Answer 1

【答案】（1）（2）．（3）詳見解析

【解析】試題分析：（1）由題意得對， 恒成立，即，∵，∴（2）設切點，由導數幾何意義得， ，令，則，問題就轉化為利用導數求最值：由得當時 ， ， 在上單調遞減；當時， ， 在上單調遞增，∴，故的最小值為．（3）本題較難，難點在于構造函數.先根據等量關系消去參數a：由題意知， ，兩式相加得，兩式相減得，即，

∴，即，為研究等式右邊范圍構造函數，易得在上單調遞增，因此當時，有即，所以，再利用基本不等式進行放縮： ，

即，再一次構造函數，易得其在上單調遞增，而，因此，即．

試題解析：解：（1） ,則，

∵在上單調遞增，∴對，都有，

即對，都有，∵，∴，

故實數的取值范圍是． 4分

（2）設切點，則切線方程為，

即，亦即，

令，由題意得， 7分

令，則，

當時 ， ， 在上單調遞減；

當時， ， 在上單調遞增，

∴，故的最小值為． 10分

（3）由題意知， ，

兩式相加得，兩式相減得，

即，∴，

即， 12分

不妨令，記，令，則，

∴在上單調遞增，則，

∴，則，∴，

又，

∴，即，

令，則時， ，∴在上單調遞增，

又，

∴，則，即．

16分