Question

【題目】四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，側面PAD⊥底面ABCD，∠BCD=60°，PA=PD= ，E是BC中點，點Q在側棱PC上．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）若Q是PC中點，求二面角E﹣DQ﹣C的余弦值；
（3）若 ，當PA∥平面DEQ時，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AD中點O，連接OP，OB，BD．

因為PA=PD，所以PO⊥AD．

因為菱形ABCD中，∠BCD=60°，所以AB=BD，所以BO⊥AD．

因為BO∩PO=O，所以AD⊥平面POB，所以AD⊥PB．

（2）解：由（1）知BO⊥AD，PO⊥AD．

因為側面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，所以PO⊥底面ABCD．

以O為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系O﹣xyz．

則D（﹣1，0，0）， ，P（0，0，1）， ，

因為Q為PC中點，所以 ．

所以 ， ，所以平面DEQ的法向量為 ．

因為 ， ，

設平面DQC的法向量為 ，則 ，∴

令 ，則y=1， ，即 ． ．

由圖可知，二面角E﹣DQ﹣C為銳角，所以余弦值為 ．

（3）解：因為 ，所以 ，

由（2）知 ， ，

若設Q（x，y，z），則 ，

由 ，得 ，

在平面DEQ中， ， ，

所以平面DEQ法向量為 ，

又因為PA∥平面DEQ，所以 ，

即（1﹣λ）+（﹣1）（2λ﹣1）=0，得 ．

所以，當 時，PA∥平面DEQ．

【解析】（1）證明AD⊥平面POB，即可證明AD⊥PB；（2）證明PO⊥底面ABCD，建立空間直角坐標系，求出平面DEQ的法向量為 ，平面DQC的法向量 ，利用向量的夾角公式，即可求得結論；（3）求出平面DEQ法向量為 ，利用PA∥平面DEQ，即 ，從而可得結論．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的性質，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；垂直于同一個平面的兩條直線平行即可以解答此題．