Question

【題目】已知五邊形ABECD由一個直角梯形和一個等邊三角形構成（如圖1所示），且．將梯形沿著折起（如圖2所示），點是的中點，平面

（1）求證：；

（2）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）根據平面，得到平面平面，由，得到平面即可.

（2）建立空間直角坐標系，設，分別求得平面EAD和平面EBD的一個法向量，代入公式求解.

（1）因為平面，平面，

所以平面平面，

因為點是的中點，三角形是等邊三角形，

所以，且平面平面，

所以平面，

因為平面，

所以；

（2）建立如圖所示空間直角坐標系：

設，則，

，

設平面EAD的一個法向量為，

則有，即，

令，則，

設平面EBD的一個法向量為，

則有，即，

令，則，

所以，

又由圖可知二面角的平面角為銳角，

所以二面角的余弦值為.