Question

設二次函數(shù)，對任意實數(shù)，有恒成立；數(shù)列滿足.
（1）求函數(shù)的解析式和值域；
（2）試寫出一個區(qū)間，使得當時，數(shù)列在這個區(qū)間上是遞增數(shù)列，并說明理由；
（3）已知，是否存在非零整數(shù)，使得對任意，都有
 恒成立，若存在，
求之；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（1）由恒成立等價于恒成立，…1分
從而得：，化簡得，從而得，
所以，………3分
其值域為.…………………4分
（2）解：當時，數(shù)列在這個區(qū)間上是遞增數(shù)列，證明如下：
設，則，
所以對一切，均有；………………7分


從而得，即，所以數(shù)列在區(qū)間上是遞增數(shù)列…10分
注：本題的區(qū)間也可以是、、等無窮多個.
另解：若數(shù)列在某個區(qū)間上是遞增數(shù)列，則
即…7分
又當時，，
∴對一切，均有且，
∴數(shù)列在區(qū)間上是遞增數(shù)列.…………………………10分
（3）（文科）由（2）知，從而；
，
即； ………12分
令，則有且；
從而有，可得，
∴數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，………14分
從而得，即，
∴ ，
∴，∴， …16分
∴，
.   ………………………18分
（3）（理科）由（2）知，從而；
，
即；………12分
令，則有且；
從而有，可得，所以數(shù)列是為首項，公比為的等比數(shù)列，…………………14分
從而得，即，
所以 ，
所以，所以解析