Question

設P₁，P₂， ，P_j為集合P＝{1，2， ，i}的子集，其中i，j為正整數．記a_ij為滿足P₁∩P₂∩ ∩P_j＝Æ的有序子集組(P₁，P₂， ，P_j)的個數．
（1）求a₂₂的值；
（2）求a_ij的表達式．

Answer 1

（1）a₂₂＝9；（2）a_ij＝(2^j 1)ⁱ

解析試題分析：（1）由題意得P₁，P₂為集合P＝{1，2}的子集，因為P₁∩P₂＝Æ，所以集合P＝{1，2}中的元素“1”共有1ÏP₁，且1Ï P₂；1ÎP₁，且1Ï P₂；1ÏP₁，且1ÎP₂，同理可得集合P＝{1，2}中的元素“2”也有3種情形，根據分步乘法原理得，a₂₂＝3×3＝9；（2）考慮P＝{1，2， ，i}中的元素“1”，然后分情況討論解答.
試題解析：（1）由題意得P₁，P₂為集合P＝{1，2}的子集，
因為P₁∩P₂＝Æ，
所以集合P＝{1，2}中的元素“1”共有如下3種情形：
1ÏP₁，且1Ï P₂；1ÎP₁，且1Ï P₂；1ÏP₁，且1ÎP₂；
同理可得集合P＝{1，2}中的元素“2”也有3種情形，
根據分步乘法原理得，a₂₂＝3×3＝9；                           4分
（2）考慮P＝{1，2， ，i}中的元素“1”，有如下情形：
1不屬于P₁，P₂， ，P_j中的任何一個，共C_j⁰種；
1只屬于P₁，P₂， ，P_j中的某一個，共C_j¹種；
1只屬于P₁，P₂， ，P_j中的某兩個，共C_j²種；
1只屬于P₁，P₂， ，P_j中的某(j 1)個，共C_j^{j 1}種，
根據分類加法原理得，元素“1”共有C_j⁰＋C_j¹＋C_j²＋ ＋C_j^{j 1}＝2^j 1種情形，    8分
同理可得，集合P＝{1，2， ，i}中其它任一元素均有(2^j 1)種情形，
根據分步乘法原理得，a_ij＝(2^j 1)ⁱ．                            10分
考點：分步計數原理、集合的運算、組合數的應用.