Question

【題目】在單調遞增數列中, ,且成等差數列, 成等比數列，.

（1）①求證：數列為等差數列；

②求數列通項公式；

（2）設數列的前項和為,證明:.

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②當為偶數時,當為奇數時；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）①根據等差中項和等比中項有，化簡得，所以數列為等差數列；②由①得首項為公差為，所以，即，結合可得,因此,當為偶數時,當為奇數時；（2），另外，，故，所以，利用裂項求和法求得.

試題解析：

（1）①因為數列單調遞增數列,, 由題意 成等差數列, 成等比數列得. ,于是 , 化簡得 , 所以數列為等差數列.

②又,所以數列的首項為,公差為,從而.結合可得,因此,

當為偶數時,當為奇數時.

（2）求數列通項公式為:

,

因為

,所以,

則有.