Question

【題目】已知函數f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集為[﹣3，3]．
（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x+2）＞0；
（Ⅱ）若a，b，c均為正實數，且滿足a+b+c=m，求證： + + ≥3．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為f（x+2）=m﹣|x|，f（x+2）≥0等價于|x|≤m，

由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集為{x|﹣m≤x≤m}．

又f（x+2）≥0的解集為[﹣3，3]，故m=3．

所以f（x）+f（x+2）＞0可化為：3﹣|x﹣2|+3﹣|x|＞0，∴|x|+|x+2|＜6．

①當x≤﹣2時，﹣x﹣x﹣2＜6，∴x＞﹣4，又x≤﹣2，∴﹣4＜x≤﹣2；

②當﹣2＜x≤0時，﹣x+x+2＜6，∴2＜6，成立；

③當x＞0時，x+x+2＜6，∴x＜2，又x＞0，∴0＜x＜2．

綜上①、②、③得不等式f（x）+f（x+2）＞0的解集為：{x|﹣4＜x＜2}

（Ⅱ）證明：a，b，c均為正實數，且滿足a+b+c=3，

因為（ + + ）（a+b+c）≥（b+c+a）2，所以 + + ≥3

【解析】（Ⅰ）利用已知條件，轉化不等式為絕對值不等式，求m的值，分類討論，即可解不等式：f（x）+f（x+2）＞0；（Ⅱ）直接利用柯西不等式，即可證明結論．
【考點精析】通過靈活運用不等式的證明，掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等即可以解答此題．