Question

【題目】如圖，矩形所在的半平面和直角梯形所在的半平面成的二面角，，，，，，.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）試問在線段上是否存在一點，使銳二面角的余弦值為.若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據二面角的平面角的定義得到即為二面角的平面角，根據，得到線面垂直，進而得到面面垂直；（Ⅱ）根據二面角的平面角的定義，結合三垂線法做出平面角是銳二面角的平面角，由幾何關系得到相應結果即可.

（Ⅰ）證明：∵，，

∴即為二面角的平面角，

∴.

又∵，

∴平面，

又∵平面，

∴平面平面.

（Ⅱ）在線段上存在一點，當符合題意，

∵平面平面，在平面內，作于，

又∵平面平面，則平面.

過作于H，連接，∵為在平面的射影，

∴是銳二面角的平面角，

因為，又因為銳二面角的余弦值是，

所以.

取中點，易知與相似，設，則，

即，解得或（舍），

因此存在符合題意的點，使得.