Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，其他四個側面都是等邊三角形，與的交點為，為側棱上一點.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）當二面角的大小為時，

試判斷點在上的位置，并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）點是的中點.

【解析】

（Ⅰ）解法一：由四棱錐的側面都是等邊三角形，可得，再由O為底面中心，可得，，由線面垂直的判定可得，從而得到平平面平面；

解法二：建立空間直角坐標系，利用空間向量證明即可；

（Ⅱ）這是一個一個二面角為條件，寫出點的位置，做法同求兩個平面的夾角一樣，設出求出法向量，根據兩個向量的夾角得到點要滿足的條件，求出點的位置．

證明：（Ⅰ）解法一：

由已知可得，,是中點，所以.

又因為四邊形是正方形，所以.

因為，所以.

又因為，所以平面平面.

解法二：證明：由（Ⅰ）知，.

建立如圖所示的空間直角坐標系.

設四棱錐的底面邊長為2，

則，，，，，.

所以，.

設（），由已知可求得.

所以，.

設平面法向量為，

則 即

令，得.

易知是平面的法向量.

因為，

所以，所以平面平面.

（Ⅱ）解：設（），由（Ⅱ）可知，

平面法向量為.

因為，

所以是平面的一個法向量.

由已知二面角的大小為.

所以，

所以，解得.

所以點是的中點.