Question

【題目】對于復數（為虛數單位），定義，給出下列命題：①對任何復數z，都有，等號成立的充要條件是；②：③若，則：④對任何復數，不等式恒成立，其中真命題的個數是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

在①中，當z＝0時，‖z‖＝0；反之，當‖z‖＝0時，z＝0；在②中，z＝a+bi，a﹣bi，從而‖z‖＝‖‖＝|a|+|b|；在③中，當z1＝2+3i，z2＝3+2i時，不成立；④由絕對值的性質得到‖z1﹣z3‖≤‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖恒成立．

由復數z＝a+bi（a、b∈R，i為虛數單位），定義‖z‖＝|a|+|b|，知：

在①中，對任何復數，都有‖z‖≥0，

當z＝0時，‖z‖＝0；反之，當‖z‖＝0時，z＝0，

∴等號成立的充要條件是z＝0，故①成立；

在②中，∵z＝a+bi，a﹣bi，∴‖z‖＝‖‖＝|a|+|b|，故②成立；

在③中，當z1＝2+3i，z2＝3+2i時，‖z1‖＝‖z2‖，但z1≠±z2，故③錯誤；

④對任何復數z1，z2，z3，

設z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，z3＝a3+b3i，

則‖z1﹣z3‖＝|a1﹣a3|+|b1﹣b3|，

‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖＝|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+|b1﹣b2|+|b2﹣b3|，

|a1﹣a3|≤|a1﹣a2|+|a2﹣a3|，

|b1﹣b3|≤|b1﹣b2|+|b2﹣b3|，

∴‖z1﹣z3‖≤‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖恒成立．故④成立．

故選：C．