Question

如圖，在三棱錐P—ABC中，D，E，F分別為棱PC，AC，AB的中點．已知PA⊥AC，PA=6，BC=8,DF=5.

求證：（1）直線PA∥平面DFE；
（2）平面BDE⊥平面ABC．

Answer 1

(1)詳見解析; (2) 詳見解析.

試題分析：(1) 由線面平行的判定定理可知,只須證PA與平面DEF內的某一條直線平行即可,由已知及圖形可知應選擇DE,由三角形的中位線的性質易知: DE∥PA ,從而問題得證；注意線PA在平面DEG外,而DE在平面DEF內必須寫清楚；(2) 由面面垂直的判定定理可知,只須證兩平中的某一直線與另一個平面垂直即可，注意題中已知了線段的長度，那就要注意利用勾股定理的逆定理來證明直線與直線的垂直；通過觀察可知：應選擇證DE垂直平面ABC較好,由(1)可知:DE⊥AC,再就只須證DE⊥EF即可；這樣就能得到DE⊥平面ABC，又DE平面BDE，從面而有平面BDE⊥平面ABC．
試題解析：(1)因為D，E分別為PC,AC的中點，所以DE∥PA.
又因為PA平面DEF，DE平面DEF，所以直線PA∥平面DEF.
(2)因為D，E，F分別人棱PC,AC，AB的中點，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4．
又因為DF＝5，故DF²＝DE²+EF²，所以∠DEF=90^。，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因為AC∩EF=E，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE⊥平面ABC．
又DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC．