Question

【題目】已知函數f（x）=x2+ax+1，g（x）=ex（其中e為自然對數的底數）． （Ⅰ）若a=1，求函數y=f（x）g（x）在區間[﹣2，0]上的最大值；
（Ⅱ）若a=﹣1，關于x的方程f（x）=kg（x）有且僅有一個根，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）若對任意的x1 ， x2∈[0，2]，x1≠x2 ， 不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|均成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）a=1時，y=（x2+x+1）ex ， y′=（x+1）（x+2）ex ， 令y′＞0，解得：x＞﹣1或x＜﹣2，令y′＜0，解得：﹣2＜x＜﹣1，
∴函數y=f（x）g（x）在[﹣2，﹣1]遞減，在[﹣1，0]遞增，
而x=﹣2時，y= ，x=0時，y=1，
故函數在[﹣2，0]上的最大值是1；
（Ⅱ）由題意得：k= = 有且只有一個根，
令h（x）= ，則h′（x）= ，
故h（x）在（﹣∞，1）上單調遞減，（1，2）上單調遞增，（2，+∞）上單調遞減，
所以h（x）極大=h（2）= ，h（x）極小=h（1）= ，
因為h（x）在（2，+∞）單調遞減，且函數值恒為正，又當x→﹣∞時，h（x）→+∞，
所以當k＞ 或0＜k＜ 時，k=h（x）有且只有一個根．
（Ⅲ）設x1＜x2 ， 因為g（x）=ex在[0，2]單調遞增，
故原不等式等價于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，
所以g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，
即 ，在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，
則函數F（x）=g（x）﹣f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在[0，2]單調遞增，
則有 ，在[0，2]恒成立，
當a≥﹣（ex+2x）恒成立時，因為﹣（ex+2x）在[0，2]單調遞減，
所以﹣（ex+2x）的最大值為﹣1，所以a≥﹣1；
當a≤ex﹣2x恒成立時，因為ex﹣2x在[0，ln2]單調遞減，在[ln2，2]單調遞增，
所以ex﹣2x的最小值為2﹣2ln2，所以a≤2﹣2ln2，
綜上：﹣1≤a≤2﹣2ln2
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，得到函數的單調區間，從而求出函數的最大值即可；（Ⅱ）若a=﹣1，關于x的方程f（x）=kg（x）有且僅有一個根，即k= = ，有且只有一個根，令h（x）= ，可得h（x）極大=h（2）= ，h（x）極小=h（1）= ，進而可得當k＞ 或0＜k＜ 時，k=h（x）有且只有一個根；（Ⅲ）設x1＜x2 ， 因為g（x）=ex在[0，2]單調遞增，故原不等式等價于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，當a≥﹣（ex+2x）恒成立時，a≥﹣1；當a≤ex﹣2x恒成立時，a≤2﹣2ln2，綜合討論結果，可得實數a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．