Question

【題目】已知圓：和點，動圓經過點且與圓相切，圓心的軌跡為曲線．

(Ⅰ)求曲線的方程；

(Ⅱ)四邊形的頂點在曲線上，且對角線均過坐標原點，若 .

(i) 求的范圍；(ii) 求四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（I） ；（II）(i) ， (ii)

【解析】

（I）求出圓M的圓心，半徑，通過動圓P經過點N且與圓M相切，設動圓P半徑為r，則 |PM|．曲線E是M，N為焦點，長軸長為的橢圓．求解即可;

(Ⅱ)把直線AB的方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理表示及目標即可得到結果.

（I）圓的圓心為，半徑為，點在圓內，因為動圓經過點且與圓相切，所以動圓與圓內切。設動圓半徑為，則 .

因為動圓經過點，所以, ,所以曲線E是M，N為焦點，長軸長為的橢圓. 由，得，所以曲線的方程為．

（II）當直線AB的斜率不存在時，，所以的最大值為2.

當直線的斜率存在時，設直線AB的方程為，設

聯立，得

,

∵

=

因此，

(ii)設原點到直線AB的距離為d，則

.