Question

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若（a+b+c）（b+c-a）=3bc．
（1）求角A的值；
（2）在（1）的結(jié)論下，若0≤x≤

π

2

，求y=cos²x+sinA•sin2x的最值．

Answer 1

分析：（1）將（a+b+c）（b+c-a）=3bc．變形為（b+c）²-a²=3bc，再用余弦定理求解．
（2）先降冪，再用輔助角法轉(zhuǎn)化為一個角的一種三角函數(shù)求最值．

解答：解：（1）（b+c）²-a²=b²+2bc+c²-a²=3bc，2bccosA=bc，
所以cosA=

1

2

，A=

π

3

（7分）
（2）y=

1+cos2x

2

+sinAsin2x=

1

2

+

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=

1

2

+sin(2x+

π

6

)（10分）
因?yàn)?span id="7v7nlhn" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">0≤x≤

π

2

，0≤2x≤π，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7

6

π，-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，（12分）
所以，0≤

1

2

+sin(2x+

π

6

)≤

3

2

，
即ymin=0，ymax=

3

2

（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查三角形中的余弦定理和三角函數(shù)中的降冪公式和輔助角法．