Question

某地區共有100戶農民從事蔬菜種植，據調查，每戶年均收入為3萬元．為了調整產業結構，當地政府決定動員部分種植戶從事蔬菜加工．據估計，如果能動員x（x＞0）戶農民從事蔬菜加工，那么剩下從事蔬菜種植的農民每戶年均收入有望提高2x%，從事蔬菜加工的農民每戶年均收入為3(a-

3x

50

)（a＞0）萬元．
（1）在動員x戶農民從事蔬菜加工后，要使從事蔬菜種植的農民的年總收入不低于動員前從事蔬菜種植的年總收入，試求x的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，要使這100戶農民中從事蔬菜加工農民的年總收入始終不高于從事蔬菜種植農民的年總收入，試求實數a的最大值．

Answer 1

（1）由題意得3（100-x）（1+2x%）≥3×100，
即x²-50x≤0，解得0≤x≤50，
又因為x＞0，所以0＜x≤50；（6分）
（2）從事蔬菜加工的農民的年總收入為3(a-

3x

50

)x萬元，從事蔬菜種植農民的年總收入為3（100-x）（1+2x%）萬元，
根據題意得，3(a-

3x

50

)x≤3（100-x）（1+2x%）恒成立，
即ax≤100+x+

x2

25

恒成立．
又x＞0，所以a≤

100

x

+

x

25

+1恒成立，
而

100

x

+

x

25

+1≥5（當且僅當x=50時取得等號），
所以a的最大值為5．（16分）