Question

【題目】設m為整數，.整數數列滿足：不全為零，且對任意正整數n，均有.證明：若存在整數r、s(r>s≥2)使得，則.

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

首先假設互素，根據題目所給遞推關系得到，然后利用數學歸納法證得對任意整數n≥3，有成立，通過證明成立，得到，從而證得結論成立.

不妨設互素(否則，若，則與互素，并且用代替條件與結論均不改變).

由數列遞推關系知①

以下證明：對任意整數n≥3，有②

事實上，當n=3時②顯然成立.假設n=k時②成立(其中k為某個大于2的整數)，注意到①，有，結合歸納假設知

，

即n=k+1時②也成立.因此②對任意整數n≥3均成立.

注意，當時，②對n=2也成立.

設整數r、s(r>s≥2)，滿足.

若，由②對n≥2均成立，可知

，

即，即③

若，則，故r>s≥3.

此時由于②對n≥3均成立，故類似可知③仍成立.

再證明a2，m互素：

事實上，假如a2與m存在一個公共素因子p，則由①得p為的公因子，而互素，故，這與矛盾.

因此，由③得.又r>s，所以.