Question

【題目】已知函數的部分圖象如圖，該圖象與軸交于點，與軸交于點兩點，為圖象的最高點，且的面積為.

（1）求的解析式及其單調遞增區間；

（2）若，且，求的值.

（3）若將的圖象向右平移個單位，再將所得圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖像.試求關于的方程在的所有根的和.

Answer 1

【答案】（1）；單調遞增區間為.（2）或；（3）.

【解析】

（1）由題意，可得△BCD的高為2，△BCD的面積為．可得BC長度，即T＝BC，即可求解ω，圖象與y軸交于點A（0，），可得φ．從而求解f（x）的解析式；令 ，解出x的范圍即可.（2）由，得，且，解出即可.（3）通過三角形函數的平移變換規律解得g（x）解析式，畫出g（x）的圖像，由三角函數的對稱性得出四各根的和.

解：（1）因為函數的最大值為，故的面積，∴，所以函數的周期，即，由函數的圖象與交于點，得，∴，∵，∴，所以.

令，，得，，所以的單調遞增區間為.

(2)因為，即，又因為，所以，所以或，所以或

(3)由題意易知，畫出的圖像如圖所示：

則方程在有四個根，由正弦函數的對稱性得四個根的和為.