Question

【題目】已知橢圓 的左焦點為F，上頂點為A，直線AF與直線 垂直，垂足為B，且點A是線段BF的中點.

（I）求橢圓C的方程；

（II）若M，N分別為橢圓C的左，右頂點，P是橢圓C上位于第一象限的一點，直線MP與直線 交于點Q，且,求點P的坐標.

Answer 1

【答案】（I）．

（II）

【解析】

（I）寫出坐標，利用直線與直線垂直，得到.求出點的坐標代入，可得到的一個關系式，由此求得和的值，進而求得橢圓方程.（II）設出點的坐標，由此寫出直線的方程，從而求得點的坐標，代入，化簡可求得點的坐標.

（I）∵橢圓的左焦點，上頂點，直線AF與直線垂直

∴直線AF的斜率，即 ①

又點A是線段BF的中點

∴點的坐標為

又點在直線上

∴ ②

∴由①②得：

∴

∴橢圓的方程為．

（II）設

由（I）易得頂點M、N的坐標為

∴直線MP的方程是：

由 得：

又點P在橢圓上，故

∴

∴

∴或（舍）

∴

∴點P的坐標為