Question

【題目】已知{an}為等比數列，a1=1，a4=27； Sn為等差數列{bn} 的前n 項和，b1=3，S5=35．

（1）求{an}和{bn} 的通項公式；

（2）設數列{cn} 滿足cn=anbn（n∈N*），求數列{cn} 的前n 項和Tn．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】試題分析：（1）設等比數列的公比為，由，可得，解得，設等差數列的公差為，由，可得，解得，從而可得結果；（2）由（1）可得，利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出.

試題解析：（1）設等比數列{an}的公比為q，∵a1=1，a4=27；∴1×q3=27，解得q=3．

∴．

設等差數列{bn} 的公差為d，∵b1=3，S5=35．∴5×3+=35，解得d=2．

∴bn=3+2（n﹣1）=2n+1．

（2）cn=anbn=（2n+1）3n﹣1．

∴數列{cn} 的前n 項和Tn=3+5×3+7×32+…+（2n+1）3n﹣1．

3Tn=3×3+5×32+…+（2n﹣1）3n﹣1+（2n+1）3n．

∴﹣2Tn=3+2×（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n+1）3n=3+﹣（2n+1）3n．

∴Tn=n3n．

【 方法點睛】本題主要考查等比數列和等差數列的通項以及錯位相減法求數列的的前 項和，屬于中檔題.一般地，如果數列是等差數列， 是等比數列，求數列的前項和時，可采用“錯位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數列的公比，然后作差求解, 在寫出“”與“” 的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“”的表達式.