Question

【題目】已知函數（, 是自然對數的底數）.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由導數幾何意義得切線斜率為，再根據點斜式求切線方程（2）不等式恒成立問題，一般轉化為對應函數最值問題： ，利用導數研究函數最小值時，先根據，得導函數在 上單調遞增，因此，即得實數的取值范圍.

試題解析:（Ⅰ）當時，有，

則．

又因為，

∴曲線在點處的切線方程為，即

（Ⅱ）因為，令

有（）且函數在上單調遞增

當時，有，此時函數在上單調遞增，則

（ⅰ）若即時，有函數在上單調遞增，

則恒成立；

（ⅱ）若即時，則在存在，

此時函數在 上單調遞減， 上單調遞增且，

所以不等式不可能恒成立，故不符合題意；

當時，有，則在存在，此時上單調遞減， 上單調遞增所以函數在上先減后增．

又，則函數在上先減后增且．

所以不等式不可能恒成立，故不符合題意；

綜上所述，實數的取值范圍為