Question

橢圓=1(b＞0)的焦點在x軸上，其右頂點關于直線x-y+4=0的對稱點在橢圓的左準線上．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)過橢圓左焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點，交橢圓左準線于點C．設O為坐標原點，且，求△OAB的面積．

Answer 1

解：(Ⅰ)橢圓的右頂點為（2，0），

設(2，0)關于直線x-y+4=0的對稱點為(x₀，y₀)，

則

解得x₀=-4，所以=4，c=1，

則b=，所求橢圓方程為=1．

(Ⅱ)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，C(-4，y₃)，

由得(3+4k²)x²+8k²x+4k²-12=0，

所以x₁+x₂=,    ①,

x₁x₂=,        ②

因為，即（x₁，y₁）+（-4，y₃）=2（x₂，y₂），所以2x₂-x₁=-4     ③

由①③得x₂=

代入②得，，整理得4k⁴-k²-5=0，

所以k²=，

所以x₁=，x₂=-，

由于對稱性，只需求k=時，△OAB的面積，

此時，y₁=,y₂=，

所以S_△OAB=|OF|·|y₁-y₂|=.