Question

橢圓=1(b＞0)的焦點在x軸上，其右頂點關于直線x-y+4=0的對稱點在橢圓的左準線上.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)過橢圓左焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點，交橢圓左準線于點C.設O為坐標原點，且，求ΔOAB的面積.

Answer 1

解：(Ⅰ)橢圓的右頂點為(2，0)， 

設(2，0)關于直線x-y+4=0的對稱點為(x₀，y₀)，

則

解得x₀=-4，所以

則b=，所求橢圓方程為

(Ⅱ)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，C(-4，y₃)，

由得(3+4k²)x²+8k²x+4k²-12=0，

所以x₁+x₂=，①，x₁x₂=，②

因為，即(x₁，y₁)+(-4，y₃)=2(x₂，y₂)，

所以2x₂-x₁=-4  ③ 

由①③得x₂=-，x₁=,

代人②得，-,整理得

4k⁴-k²-5=0，

所以k²=，

所以x₁=,x₂=-，

由于對稱性，只需求k=時ΔOAB的面積，

此時，y₁=，y₂=-，

所以S_ΔOAB=|OF|·|y₁-y₂|=.