Question

【題目】已知橢圓： ，與軸不重合的直線經過左焦點，且與橢圓相交于， 兩點，弦的中點為，直線與橢圓相交于， 兩點．

（Ⅰ）若直線的斜率為1，求直線的斜率；

（Ⅱ）是否存在直線，使得成立？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ， .

【解析】試題分析: （Ⅰ）求出直線的方程,與橢圓聯立,解出中點的坐標,進而求出直線的斜率. （Ⅱ）假設存在直線，使得成立．當直線的斜率不存在時不成立,斜率存在時聯立直線與橢圓方程,根據韋達定理寫出弦長的表達式以及中點的坐標, 直線的方程聯立橢圓的方程，得點坐標，則可求出,又，將坐標代入解出,即可求出直線的方程.

試題解析:（Ⅰ）由已知可知，又直線的斜率為1，所以直線的方程為，

設， ，

由解得

所以中點，

于是直線的斜率為．

（Ⅱ）假設存在直線，使得成立．　

當直線的斜率不存在時， 的中點，

所以， ，矛盾；

故可設直線的方程為，聯立橢圓的方程，

得，

設， ，則， ，

于是，

點的坐標為，

.

直線的方程為，聯立橢圓的方程，得，

設，則，

由題知， ，

即，

化簡，得，故，

所以直線的方程為， .