Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB=5，BC=4，AC=CC1=3，D為AB的中點

（1）求證：AC⊥BC1；
（2）求異面直線AC1與CB1所成角的余弦值；
（3）求二面角D﹣CB1﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵AB=5，BC=4，AC=CC1=3，

∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥BC，

又CC1⊥平面ABC，∴CA，CB，CC1兩兩垂直，

以C為原點，直線CA，CB，CC1分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，

則C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C1（0，0，3），B1（0，4，3），

=（﹣3，0，0）， =（0，﹣4，3），

∵ =0，∴ ⊥ ，

∴AC⊥BC1．

（2）解：∵ =（﹣3，0，3）， =（0，4，3），| |=3 ，| |=5，

cos＜ ＞= = = ，

∴異面直線AC1與CB1所成角的余弦值為 ．

（3）解：∵D是AB的中點，∴D（ ）， =（ ）， =（0，4，3），

∵AC⊥BC1，AC⊥CC1，BC1∩CC1=C1，

∴AC⊥平面BCB1，

∴平面BCB1的一個法向量 =（3，0，0），

設平面DCB1的一個法向量 =（x，y，z），

則 ，取y=1，得 =（﹣ ，1，﹣ ），

cos＜ ＞= = =﹣ ，

由圖知二面角D﹣CB1﹣B的平面角是銳角，

∴二面角D﹣CB1﹣B的余弦值為 ．

【解析】（1）以C為原點，直線CA，CB，CC1分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明AC⊥BC1 ． （2）求出 =（﹣3，0，3）， =（0，4，3），利用得量法能地求出異面直線AC1與CB1所成角的余弦值．（3）求出平面BCB1的一個法向量和平面DCB1的一個法向量，利用向量法能求出二面角D﹣CB1﹣B的余弦值．
【考點精析】關于本題考查的異面直線及其所成的角和空間中直線與直線之間的位置關系，需要了解異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系；相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點才能得出正確答案．