Question

【題目】已知函數， ．

（1）若，求函數的單調遞減區間；

（2）若關于的不等式恒成立，求整數的最小值；

（3）若，正實數， 滿足，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）由求出的值，再利用導數求出函數的單調遞減區間；（2）分離出變量，令，只要，利用導數求出令的最大值即可；（3）由，即，令，則由，利用導數法求得，從而可得所以，解得即可．

試題解析：

（1）因為，所以，

此時， ，

，

由，得，又，所以，

所以的單調減區間為．

（2）由恒成立，得在上恒成立，

問題等價于在上恒成立，

令，只要，

因為，令，得．

設，因為，所以在上單調遞減，

不妨設的根為，

當時， ；當時， ，

所以在上是增函數，在上是減函數，

所以 ，

因為， ，

所以，此時，即，

所以，即整數的最小值為2．

（3）當時， ，

由，即，

從而，

令，則由，得，

可知， 在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以，

所以，因此成立．