Question

【題目】(2015·湖南）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，E,F分別是BC,CC1的中點。

（1）證明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
（2）若直線AC1與平面AA1BB1所成的角為45°，求三棱錐F-AEC的體積。

Answer 1

【答案】
（1）

略。

（2）

【解析】（I）如圖，因為三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
所以AE⊥BB1 ， 又E是正三角形的邊BC的中點，
ABC所以AE⊥BC，因此AE⊥平面B1BCC1 ， 而AE平面AEF，
所以平面AEF⊥平面B1BCC1。
（II）設AB的中點為D，連接A1DCD，因為△ABC是正三角形，所以CD⊥AB，又三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以，因此CD⊥平面A1AB1B，于是∠CA1D直線A1C與平面A1ABB1所成的角，由題設知∠CA1D=45°，
所以A1D=CD=AB=，
在Rt△AA1D中，AA1===，所以FC=AA1=
故三棱錐F-AEC的體積V=SAECxFC=xx=。

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．