Question

本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每小題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=．
①求矩陣A的逆矩陣B；
②若直線l經過矩陣B變換后的方程為y=x，求直線l的方程．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系中x軸的正半軸重合．圓C的參數方程為（a為參數），點Q極坐標為（2，π）．
（Ⅰ）化圓C的參數方程為極坐標方程；
（Ⅱ）若點P是圓C上的任意一點，求P、Q兩點距離的最小值．
（3）選修4-5：不等式選講
（I）關于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解不是空集，求a的取值范圍．
（II）設x，y，z∈R，且，求x+y+z的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）①設矩陣A的逆矩陣B=，由 ==，求出B．
②由題意可得 = =，且x′-y′=0．化簡（-2x+y）-（-）=0，可得直線l的方程．
（2）（Ⅰ）把圓C的參數方程化為直角坐標方程為 （x-1）²+（y+1）²=4，再化為極坐標方程．
（Ⅱ）先求得點Q的直角坐標為（，-），由于圓心C的坐標為（1-1），求得CQ=，可得PQ的最小值為CQ-r，運算求得結果．
（3）（I）由絕對值的意義可得，|x-3|+|x-4|的最小值為1，結合題意可得故a＞1，從而求得a的取值范圍．
（II）設x，y，z∈R，且，利用柯西不等式得 （x+y+z）²≤25，可得x+y+z的取值范圍．
解答：解：（1）①∵已知矩陣A=[]，設矩陣A的逆矩陣B=，
則有 ==．
∴，解得 ，故A的逆矩陣B=．
②若直線l經過矩陣B變換后的方程為y=x，即x-y=0，
則 = =，且x′-y′=0．
∴（-2x+y）-（-）=0，即 7x-3y=0，∴直線l的方程為 7x-3y=0．
（2）（Ⅰ）∵圓C的參數方程為，化為直角坐標方程為 （x-1）²+（y+1）²=4．
再化為極坐標方程為 （ρcosθ-1）²+（ρsinθ+1）²=4．
（Ⅱ）∵點Q極坐標為（2，π），故點Q的直角坐標為（，-）．
由于圓心C的坐標為（1-1），且CQ==，點P是圓C上的任意一點，
故PQ的最小值為 CQ-r=-1．
（3）（I）關于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解不是空集，而由絕對值的意義可得，|x-3|+|x-4|的最小值為1，
故a＞1，故a的取值范圍為（1，+∞）．
（II）設x，y，z∈R，且，利用柯西不等式得
（16+5+4）×（）≥（x+y+z）²，
∴（x+y+z）²≤25，
即-5≤x+y+z≤5，故x+y+z的取值范圍為[-5，5]．
點評：本題考查逆變換與逆矩陣，絕對值不等式的解法，柯西不等式的應用，參數方程、極坐標方程、以及直角坐標方程間的互化，屬于中檔題．