Question

本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，請考生任選2題作答．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知a，b∈R，若M=

-1 a b 3

所對應的變換T_M把直線L：2x-y=3變換為自身，求實數a，b，并求M的逆矩陣．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
已知直線l的參數方程：

x=t y=1+2t

（t為參數）和圓C的極坐標方程：ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)．
①將直線l的參數方程化為普通方程，圓C的極坐標方程化為直角坐標方程；
②判斷直線l和圓C的位置關系．
（3）選修4-5：不等式選講
已知函數f（x）=|x-1|+|x-2|．若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a，b∈R）恒成立，求實數x的范圍．

Answer 1

分析：（1）設P（x，y）為直線2x-y=3上的任意一點，其在M的作用下變為（x′，y′），通過T_M找到x′、y′和x、y的關系，將
x′、y′代入直線方程，與原方程一樣，即可求出實數a，b．用待定系數法求M的逆矩陣即可．
（2）①直線l的參數方程中的t消掉，即得直線l的普通方程；圓C的極坐標方程展開，利用ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入即得圓的普通方程．
②利用圓心到直線的距離與圓的半徑比較即可．
（3）若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a，b∈R）恒成立，轉化為f（x）≤（

|a+b|+|a-b|

|a|

）_min
由絕對值不等式的性質求

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值即可．

解答：解：（1）設P（x，y）為直線2x-y=3上的任意一點，其在M的作用下變為（x′，y′），
則

-1 a b 3

 

x   y

=

-x+ay   bx+3y

=

x′   y′

，
∴

x′=-x+ay y′=bx+3y

代入2x-y=3得-（b+2）x+（2a-3）y=3，與2x-y=3完全一樣，
得

-b-2=2 2a-3=-1

解得

a=1 b=-4

所以M=

-1 1 -4 3

所以M^-1=

3 -1 4 -1

（2）直線l的參數方程：

x=t y=1+2t

（t為參數），消去參數得y=1+2x
圓C的極坐標方程：ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)=2（sinθ+cosθ），所以ρ²=2ρ（sinθ+cosθ），
化為直角坐標方程直角方程為x²+y²=2x+2y
即（x-1）²+（y-1）²=2
圓心為C（1，1），半徑為r=

2

②圓心C到直線y=1+2x的距離為d=

2-1+1

5

=

2 5

5

＜

2

所以直線l和圓C相交．
（3）因為|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|
所以

|a+b|+|a-b|

|a|

≥2，即

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值為2．
若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a，b∈R）恒成立，
所以f（x）≤（

|a+b|+|a-b|

|a|

）_min=2
即|x-1|+|x-2|≤2
由絕對值的幾何意義得

1

2

≤x≤

5

2

化為直角坐標方程直角方程為

點評：本題考查二階矩陣、逆矩陣及矩陣變換，考查參數方程和極坐標與直角坐標系方程的轉化、直線和圓位置關系的判斷，考查絕對值不等式的意義和解絕對值不等式，不等式恒成立問題．