Question

本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每小題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=

1 2 3 4

．
①求矩陣A的逆矩陣B；
②若直線l經(jīng)過矩陣B變換后的方程為y=x，求直線l的方程．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點重合，極軸與直角坐標(biāo)系中x軸的正半軸重合．圓C的參數(shù)方程為

x=1+2cosα y=-1+2sinα

（a為參數(shù)），點Q極坐標(biāo)為（2，

7

4

π）．
（Ⅰ）化圓C的參數(shù)方程為極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若點P是圓C上的任意一點，求P、Q兩點距離的最小值．
（3）選修4-5：不等式選講
（I）關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解不是空集，求a的取值范圍．
（II）設(shè)x，y，z∈R，且

x2

16

+

y2

5

+

z2

4

=1，求x+y+z的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①設(shè)矩陣A的逆矩陣B=

a b c d

，由

a b c d

1 2 3 4

=

a+3b 2a+4b c+3d 2c+4d

=

1 0 0 1

，求出B．
②由題意可得 

x′′ y′′

=

-2 1 3 2 - 1 2

x′ y′

=

-2x+y′ 3 2 x- 1 2 y′

，且x′-y′=0．化簡（-2x+y）-（

3

2

x-

y

2

）=0，可得直線l的方程．
（2）（Ⅰ）把圓C的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程為 （x-1）²+（y+1）²=4，再化為極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）先求得點Q的直角坐標(biāo)為（

2

，-

2

），由于圓心C的坐標(biāo)為（1-1），求得CQ=

6

，可得PQ的最小值為CQ-r，運算求得結(jié)果．
（3）（I）由絕對值的意義可得，|x-3|+|x-4|的最小值為1，結(jié)合題意可得故a＞1，從而求得a的取值范圍．
（II）設(shè)x，y，z∈R，且

x2

16

+

y2

5

+

z2

4

=1，利用柯西不等式得 （x+y+z）²≤25，可得x+y+z的取值范圍．

解答：解：（1）①∵已知矩陣A=[

1 2 3 4

]，設(shè)矩陣A的逆矩陣B=

a b c d

，
則有

a b c d

 

1 2 3 4

=

a+3b 2a+4b c+3d 2c+4d

=

1 0 0 1

．
∴

a+3b=1 2a+4b=0 c+3d=0 2c+4d=1

，解得 

a=-2 b=1 c= 3 2 d=- 1 2

，故A的逆矩陣B=

-2 1 3 2 - 1 2

．
②若直線l經(jīng)過矩陣B變換后的方程為y=x，即x-y=0，
則

x′′ y′′

=

-2 1 3 2 - 1 2

 

x′ y′

=

-2x+y′ 3 2 x- 1 2 y′

，且x′-y′=0．
∴（-2x+y）-（

3

2

x-

y

2

）=0，即 7x-3y=0，∴直線l的方程為 7x-3y=0．
（2）（Ⅰ）∵圓C的參數(shù)方程為

x=1+2cosα y=-1+2sinα

，化為直角坐標(biāo)方程為 （x-1）²+（y+1）²=4．
再化為極坐標(biāo)方程為 （ρcosθ-1）²+（ρsinθ+1）²=4．
（Ⅱ）∵點Q極坐標(biāo)為（2，

7

4

π），故點Q的直角坐標(biāo)為（

2

，-

2

）．
由于圓心C的坐標(biāo)為（1-1），且CQ=

( 2 -1)2+(- 2 +1)2

=

6

，點P是圓C上的任意一點，
故PQ的最小值為 CQ-r=

6

-1．
（3）（I）關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解不是空集，而由絕對值的意義可得，|x-3|+|x-4|的最小值為1，
故a＞1，故a的取值范圍為（1，+∞）．
（II）設(shè)x，y，z∈R，且

x2

16

+

y2

5

+

z2

4

=1，利用柯西不等式得
（16+5+4）×（

x2

16

+

y2

5

+

z2

4

）≥（x+y+z）²，
∴（x+y+z）²≤25，
即-5≤x+y+z≤5，故x+y+z的取值范圍為[-5，5]．

點評：本題考查逆變換與逆矩陣，絕對值不等式的解法，柯西不等式的應(yīng)用，參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、以及直角坐標(biāo)方程間的互化，屬于中檔題．