Question

如圖展示了一個由區(qū)間（0，1）到實(shí)數(shù)集R的映射過程：區(qū)間（0，1）中的實(shí)數(shù)m對應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M，如圖①；將線段AB圍成一個圓，使兩端點(diǎn)A、B恰好重合，如圖②；再將這個圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），在圖形變化過程中，圖①中線段AM的長度對應(yīng)于圖③中的弧ADM的長度，如圖③．圖③中直線AM與x軸交于點(diǎn)N（n，0），則m的象就是n，記作f（m）=n．

給出下列命題：①f（

1

4

）=1；②f（x）是奇函數(shù)；③f（x）在定義域上單調(diào)遞增，則所有真命題的序號是

③

．（填出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：①可以求出直線AM方程，求出n，判斷①是否正確．
②在有實(shí)數(shù)m所在區(qū)間（0，1）不關(guān)于原點(diǎn)對稱，知②錯
③可由圖③，由M的運(yùn)動規(guī)律觀察出函數(shù)值的變化，得出單調(diào)性，

解答：解：①如圖，因為M在以（1，1-

1

2π

）為圓心，1-

1

2π

）為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)m=

1

4

時．M的坐標(biāo)為（-

1

2π

，1-

1

2π

），直線AM與x軸交于負(fù)半軸，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)值，直線AM方程y=x+1，
所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-1，0），故f（

1

4

）=-1，即①錯
②對于②因為實(shí)數(shù)m所在區(qū)間（0，1）不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以f（x）不存在奇偶性．故②錯．
③是正確命題，由圖③可以看出，m由0增大到1時，M由A運(yùn)動到B，此時N由x的負(fù)半軸向正半軸運(yùn)動，由此知，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐漸變大，故f（x）在定義域上單調(diào)遞增是正確的；
故答案為：③

點(diǎn)評：本題考查映射的概念，解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中所給的對應(yīng)關(guān)系，正確認(rèn)識三個圖象的意義，由此對四個命題的正誤作出判斷，本題題型新穎，寓數(shù)于形，是一個考查理解能力的題．