Question

【題目】設函數f（x）=xex﹣ae2x（a∈R）
（I）當a≥ 時，求證：f（x）≤0．
（II）若函數f（x）有兩個極值點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（ I）證明：f（x）=xex﹣ae2x=ex（x﹣aex）
∵ex＞0，只需證：當 即可，
g（x）=x﹣aex ， g'（x）=1﹣aex=0
∴ ，
∴ ，

∴當 從而當 時，f（x）≤0
（ II）f'（x）=（x+1）ex﹣2ae2x=ex（x+1﹣2aex）
函數f（x）有兩個極值點，等價于y=f'（x）有兩個變號零點
即方程 有兩個不相同的根
設 ， ，x∈（﹣∞，0），h'（x）＞0，h（x）遞增；x∈（0，+∞），h'（x）＜0，h（x）遞減，
h（x）max=h（0）=1，h（﹣1）=0，
x＞﹣1，h（x）＞0，x→+∞，h（x）→0，x→﹣∞，h（x）→﹣∞
當 有兩個交點
方程 有兩個不相同的根，函數f（x）有兩個極值點
【解析】（Ⅰ）利用分析法，構造函數g（x）=x﹣aex ， 利用導數和函數的最值的關系即可求出，（Ⅱ）函數f（x）有兩個極值點，等價于y=f'（x）有兩個變號零點，即方程 有兩個不相同的根，構造函數 ，利用導數求出函數的最值，問題得以解決．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值)，還要掌握函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關知識才是答題的關鍵．