Question

【題目】在數列中，已知，(n∈N*)

(1)求數列的通項公式

(2)若(λ為非零常數)，問是否存在整數λ使得對任意n∈N*都有？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

(1)由已知，得an=Sn﹣1+3n﹣4（n≥2），利用an與sn的關系，兩式相減，an+1+3=2（an+3）（n≥2），初步判斷新數列{an+3}具有等比數列的性質，再考慮n=1的情形；

(2)寫出數列{bn}的通項，首先假設存在λ使得滿足題意，然后計算化簡bn+1﹣bn，再結合恒成立問題進行轉化，將問題轉化為：對任意的n∈N*恒成立．然后分n為奇偶數討論即可獲得λ的范圍，再結合為整數即可獲得問題的解答．

(1)由an+1=Sn+3n﹣1（n∈N*）①

得an=Sn﹣1+3n﹣4（n≥2）②

①﹣②得an+1=2an+3（n≥2）

∴an+1+3=2（an+3）（n≥2）

又由②得 a2=S1+6﹣4=a1+2=1

∴a2+3=4

∴a2+3=2（a1+3）

∴an+1+3=2（an+3）（n≥1）

∵a1+3≠0，∴an+3≠0，∴

∴數列{an+3}是首項為2，公比為2的等比數列

∴an+3=2×2n﹣1=2n

∴數列{an}的 an=2n﹣3（n≥1）

(2)由(1)可得 bn=3n+（﹣1）n﹣1λ2n

bn+1=3n+1+（﹣1）nλ2n+1

要使bn+1＞bn恒成立，只需bn+1﹣bn=23n﹣3λ（﹣1）n﹣12n＞0恒成立，

即恒成立

當n為奇數時，恒成立 而的最小值為1∴λ＜1

當n為偶數時，恒成立 而最大值為∴

即λ的取值范圍是1＞，且λ≠1

又λ為整數．

∴存在λ=﹣1或0，使得對任意n∈N*都有bn+1＞bn．