已知左焦點為
的橢圓過點
．過點
分別作斜率為
的橢圓的動弦
，設
分別為線段的中點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若
為線段
的中點，求
；
（3）若
，求證直線
恒過定點，并求出定點坐標．
（1）
；（2）
；（3）證明過程詳見解析，
.
解析試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、直線的斜率、中點坐標等基礎知識，考查數形結合思想，考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，先利用左焦點
坐標得右焦點
坐標，然后利用定義
，求得
，而
，得
，得出結論，橢圓為；（2）先將點
坐標代入橢圓，兩者作差得
，而
代入得，利用韋達定理求
，同理求
，用坐標求
，用
點和點斜式寫出直線方程，利用化簡，可分析過定點.
試題解析：（1）由題意知
設右焦點
2分
橢圓方程為 4分
（2）設
則 
① 
② 6分
② ①，可得
8分
（3）由題意
，設
直線
，即
代入橢圓方程并化簡得
10分
同理
11分
當
時， 直線的斜率
直線的方程為
又 化簡得
此時直線過定點（0，
） 13分
當
時，直線即為
軸，也過點（0，）
綜上，直線過定點. 14分
考點：1.橢圓的定義；2.中點弦的解決方法.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1.
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l：
與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證: 直線l過定點，并求出該定點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C的中心在原點，焦點F在
軸上，離心率
，點
在橢圓C上.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）若斜率為
的直線
交橢圓與
、
兩點，且
、、
成等差數列，點M（1,1），求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
以點F1（－1,0），F2（1,0）為焦點的橢圓C經過點（1，
）。
（I）求橢圓C的方程；
（II）過P點分別以
為斜率的直線分別交橢圓C于A，B，M，N，求證： 
使得
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知圓
，圓
，動圓
與已知兩圓都外切.
（1）求動圓的圓心的軌跡
的方程；
（2）直線
與點的軌跡交于不同的兩點
、
，
的中垂線與
軸交于點
，求點的縱坐標的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
(本小題滿分12分)已知圓
，圓
，動圓
與圓
外切并且與圓
內切，圓心的軌跡為曲線
。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）
是與圓，圓都相切的一條直線，與曲線交于
，
兩點，當圓的半徑最長是，求
。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的長軸兩端點分別為
，
是橢圓上的動點，以
為一邊在
軸下方作矩形
，使
，
交于點
，
交于點
．
（Ⅰ）如圖（1），若
，且
為橢圓上頂點時，
的面積為12，點
到直線的距離為
，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖（2），若
，試證明：
成等比數列．
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的右焦點為
，上頂點為B，離心率為
，圓
與
軸交于
兩點 
的值；
，過點
與圓
相切的直線
與
的另一交點為
，求
的面積 
中,點
到兩點
的距離之和等于4,設點
,直線
與
兩點.
在第一象限,證明當
時,恒有
.