Question

【題目】設是公比為正整數的等比數列，是等差數列，且，，.

（1）求數列和的通項公式；

（2）設數列的前項和為.

①試求最小的正整數，使得當時，都有成立；

②是否存在正整數 ，使得成立？若存在，請求出所有滿足條件的；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）①最小的正整數；②存在正整數，使得成立.

【解析】

試題分析：

（1）利用等差數列與等比數列的通項公式即可得出；（2）①，

可得數列的前2n項和，設,則，時，，即時，，數列在時單調遞增，而，所以，即可得出最小的正整數．②由，， ，，，，，.按的奇偶性分情況： 1°當同時為偶數時，由①可知； 2°當同時為奇數時，時，，數列在時單調遞增，不成立； 3°當為偶數，為奇數時，，不成立； 4°當為奇數，為偶數時，顯然時，不成立；綜合即可得出使得成立的正整數.

試題解析：

（1）由，，

得，，

設的公比為，的公差為，

由，

得，

即，消去，得，

解得或，

又，

，

得.

（2）①，

，

，

，

設,

則，

所以數列單調遞增，則時，，

即時，，數列在時單調遞增，

而，所以當時，，

綜上，最小的正整數.

②法一：，

，

，

，

，

，

，

.

1.當同時為偶數時，由①可知；

2.當同時為奇數時，設,

則，

所以數列單調遞增，則當時，，

即時，，數列在時單調遞增，

而，

故當同時為奇數時，不成立；

3.當為偶數，為奇數時，顯然時，不成立，

若，則，

，，

由2.可知，，

當為偶數，為奇數時，不成立；

4.當為奇數，為偶數時，顯然時，不成立，

若，則，

若，

則，

即，時，不成立，

若，即，

由①中數列的單調性，可知，

設，

恒成立，

所以數列單調遞增，

則當時，，

，

時也不成立；

綜上1.2.3.4.，存在正整數，使得成立.

法二：可以證明當時，不等式恒成立，余下略.