Question

探究函數f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如表：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.002	4.04	4.3	5	4.8	7.57	…

（1）根據上表判斷函數f(x)=x+

4

x

(x＞0)在區間（0，2）上的單調性并給出證明；
（2）函數f(x)=x+

4

x

(x＞0)在區間上（2，+∞）單調性如何？（不需證明）求出函數f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)的最小值及相應x的值．

Answer 1

分析：（1）當0＜x＜2時，利用f′（x）＜0，可得函數在區間（0，2）上是減函數．
（2）當x＞2時，求得 f′（x）＞0，可得函數在區間（2，+∞）上是增函數．再根據f（x）在區間（0，2）上是減函數，在區間（2，+∞）上是增函數，可得當x=2時，函數取得最小值．

解答：解：（1）根據上表判斷函數f(x)=x+

4

x

(x＞0)在區間（0，2）上是減函數．
證明：當0＜x＜2時，
∵f′（x）=1+

0-4

x2

=1-

4

x2

＜0，即 f′（x）＜0，
∴函數f(x)=x+

4

x

(x＞0)在區間（0，2）上是減函數．
（2）當x＞2時，
∵f′（x）=1+

0-4

x2

=1-

4

x2

＞0，即 f′（x）＞0，
∴函數f(x)=x+

4

x

(x＞0)在區間（2，+∞）上是增函數．
綜上可得，f（x）在區間（0，2）上是減函數，在區間（2，+∞）上是增函數，
故當x=2時，函數取得最小值為4．

點評：本題主要考查函數的單調性的判斷和證明，導數與函數的單調性的關系，屬于基礎題．