Question

探究函數f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.002	4.04	4.3	5	5.8	7.57	…

請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
（1）函數f(x)=x+

4

x

(x＞0)在區間（0，2）上遞減，函數f(x)=x+

4

x

(x＞0)在區間

 

上遞增；
（2）函數f(x)=x+

4

x

(x＞0)，當x=

 

時，y_最小=

 

；
（3）函數f(x)=x+

4

x

(x＜0)時，有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？（直接回答結果，不需證明）

Answer 1

分析：利用表中y值隨x值變化的特點，可以知道函數值是先減后增，只要找到臨界點即可

解答：解：由f（x）=x+

4

x

，∴f'（x）=1-

4

x2

=

(x-2)(x+2)

x2

，∵x∈（0，+∞），∴f'（x）＞0，得x＞2，f'（x）＜0，得0＜x＜2，即2為極小值點
故（1）f（x）的增區間為  （2，+∞）；
（2）當x=2時y_最小=4；
（3）∵f（-x）=-x-

4

x

=-f（x），∴f（x）是奇函數，又因為當x=2時y_最小=4，所以y=x+

4

x

，x∈(-∞，0)時，x=-2時，y最大=-4（每小題4分）

點評：對于給定解析式的函數，判斷或證明其在某個區間上的單調性問題，可以結合定義求解，可導函數也可利用導數解之