Question

探究函數(shù)f(x)=2x+

8

x

，x∈(0，+∞)的最小值，并確定取得最小值時(shí)x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	16	10	8.34	8.1	8.01	8	8.01	8.04	8.08	8.6	10	11.6	15.14	…

請(qǐng)觀察表中y值隨x值變化的特點(diǎn)，完成以下的問題．
（1）函數(shù)f(x)=2x+

8

x

(x＞0)在區(qū)間（0，2）上遞減；函數(shù)f(x)=2x+

8

x

(x＞0)在區(qū)間

（2，+∞）

上遞增．當(dāng)x=

2

時(shí)，y_最小=

4

．
（2）證明：函數(shù)f(x)=2x+

8

x

(x＞0)在區(qū)間（0，2）遞減．
（3）思考：函數(shù)f(x)=2x+

8

x

(x＜0)時(shí)，有最值嗎？是最大值還是最小值？此時(shí)x為何值？（直接回答結(jié)果，不需證明）

Answer 1

分析：（1）利用基本不等式，可得當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f(x)=2x+

8

x

的最小值為8．由此可得函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)增區(qū)間，得到答案；
（2）設(shè)x₁、x₂∈（0，2）且x₁＜x₂，利用作差、因式分解、判斷符號(hào)的方法加以證明可得f（x₁）＞f（x₂），結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，可得函數(shù)在（0，2）上為減函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性與最值，結(jié)合函數(shù)在{x|x≠0}上為奇函數(shù)，即可得到當(dāng)x＜0時(shí)函數(shù)有最大值為-4．

解答：解：（1）∵x＞0，∴2x+

8

x

≥2

2x• 8 x

=8
當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f(x)=2x+

8

x

的最小值為8
由此可得函數(shù)在區(qū)間（0，2）上遞減；在區(qū)間（2，+∞）上遞增
故答案為：（2，+∞），2，4．…（4分）
（2）證明：設(shè)x₁，x₂是區(qū)間（0，2）上的任意兩個(gè)數(shù)，且x₁＜x₂，可得
f(x1)-f(x2)=2x1+

8

x1

-(2x2+

8

x2

)
=2(x1-x2)+

8

x1

-

8

x2

=2(x1-x2)(1-

4

x1x2

)
=

2(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

∵x₁＜x₂且x₁，x₂∈（0，2），可得x₁-x₂＜0，x₁x₂-4＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
由此可得函數(shù)在（0，2）上為減函數(shù)．（10分）
（3）根據(jù)函數(shù)在{x|x≠0}上為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上有最小值4，可得如下結(jié)論：
函數(shù)y=x+

4

x

，當(dāng)x＜0時(shí)，有最大值
當(dāng)x=-2時(shí)，y_max=-4．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲型函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值．著重考查了基本不等式求最值、用定義證明函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)，屬于中檔題．